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勇敢的劳尤条

 
 
 

日志

 
 

1段1m长的绳子任意切成3段,问最短一段的长度期望值是多少?? 一条线段分成三段,求三段能组成一个三角形的概率?  

2014-03-17 09:28:30|  分类: 其他资料 |  标签: |举报 |字号 订阅

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1段1m长的绳子任意切成3段,问最短一段的长度期望值是多少?? 那么,切成n段情况又如何呢??

 

解法【1】:传统方法,积分。

这道题随机变量看似3个,其实两个就够了,设XY处把棍子折断,XY[0,1]之间满足均匀分布。

不妨假设X<Y。则三段长度分别是XY-X1-Y,如果X最短,那么满足

X<Y-X也就是2X<Y

X<1-Y也就是Y<1-X

根据上面的条件,我们可以画出XY的曲线,求出边界条件,然后用积分求X的期望,代入联合分布即可。明显,最短的X长度不会超过1/3,又因为XY-X1-Y都要大于等于0小于等于1,所以期望就是如下

1段1m长的绳子任意切成3段,问最短一段的长度期望值是多少?? 那么,切成n段情况又如何呢?? - yuanshuilee - 勇敢的劳尤条  

因为我们假设X最小,那么其他的也可能最小,一共有3种情况,另外如果X>Y也是一样,所以一共有6种可能的情况,也就是1/54*6=1/9。所以答案是1/9

 

计算最大值类似,先假定一组条件,然后根据对称性简单求和。

还是假设X<Y,然后X最大,那么

X>Y-X也就是Y<2X

X>1-Y也就是Y>1-X

同样可以画出XY的坐标图,然后列出求积分的公式

1段1m长的绳子任意切成3段,问最短一段的长度期望值是多少?? 那么,切成n段情况又如何呢?? - yuanshuilee - 勇敢的劳尤条

同样,结果乘以6,得到11/18

 

解法【2】:

可以利用几何特性,化期望为求解质心问题。

假设X是最短的,Y是最长的,那么第三段满足X<1-X-Y<Y,也就是

2X+Y>1

X+2Y<1

根据上面两条式子,可以画出坐标图,以及满足条件的三角形区域。

三个点分别是(1/3,1/3)(0,1/2)(0,1),求解质心,三角形均匀分布,质心就是重心,所以将三个点求平均即可(1/911/18)。所以得出结果。

 

解法【3】:对于n段的解法

假设我们把一根绳子剪成 段,每段的长度分别是 l1,l2,,ln。设最短的一段是 x。那其他的 n-段都要大于等于 x。换句话说,每一段都得预留出了 的长度,剩余1-nx,问题等价于,余下的 1-nx 里我们还需要分割n-1小段出来。也就是说:

1段1m长的绳子任意切成3段,问最短一段的长度期望值是多少?? 那么,切成n段情况又如何呢?? - yuanshuilee - 勇敢的劳尤条

上面的积分公式,第一行用到了分部积分的方法,第二行求解,显然P(L<=1/n^2)的概率是1,所以才有上面的结果。

所以,最短的那一段的平均长度是:1/n^2。那可能又要问了,其他的几段呢?我们来算算倒数第二段先。和上面的做法一样,先把最短的一段从每一段中截走,绳子的总长度剩下 1-nx。那倒数第二段就是剩下里面最短的一段啦,再把刚才的那一段加回去,于是长度就是

1段1m长的绳子任意切成3段,问最短一段的长度期望值是多少?? 那么,切成n段情况又如何呢?? - yuanshuilee - 勇敢的劳尤条

 

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一条线段分成三段,求三段能组成一个三角形的概率

设线段总长度为1,某一条线段为x,一条为y,另一条为1-x-y。以下按照线性规划问题解。
总区域为:x大于0小于1y大于0小于11-x-y大于0小于1
目标区域为:x+y大于1-x-yx-y小于1-x-y
然后按照几何概型的问题解。
小面积/大面积即可,自己算吧。答案是:1/4

 

这是一个几何概型,任意分的情况下,最长的线段一定大于等于L/3而能组成三角形的时候,长度不能超过L/2(因为两边之和要大于第三边),所以,问题很容易了,原来可以选择分割点的地方(L/3~L),有2L/3的长度,现在呢,我最长的一段只能在(L/3~L/2)之间,长度只有L/6,所以,概率就是(L/6/2L/3=1/4

【参考资料】
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